第十五章 整式的乘除與因式分解

　　根據(jù)定義，我們不難得出a+b+c、t-5、3x+5+2z、 ab-3.12r2、x2+2x+18都是多項式．請分別指出它們的項和次數(shù)．

　　15．1．2 整式的加減

　　（3）x－（1－2x＋x2）+（－1－x2） （4）（8x－3x2）－5x－2（3x－2x2）

　　四、提高練習(xí)：

　　1、已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，并且A＋B＋C＝0，問C是什么樣的多項式？

　　2、設(shè)A＝2x2－3x＋2－x＋2，B＝4x2－6x＋22－3x－，若│x－2a│＋（＋3）2＝0，且B－2A＝a，求A的`值。

　　3、已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上（0為數(shù)軸原點）的對應(yīng)點如圖：

　　試化簡：│a│－│a＋b│＋│c－a│＋│b＋c│

　　小 結(jié)：要善于在圖形變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，能熟練的對整式加減進(jìn)行運算。

　　作 業(yè)：課本P14習(xí)題1.3：1（2）、（3）、（6），2。

　　《課堂感悟與探究》

因式分解教案 篇3

　　第6.4因式分解的簡單應(yīng)用

　　背景材料：

　　因式分解是初中數(shù)學(xué)中的一個重點內(nèi)容，也是一項重要的基本技能和基礎(chǔ)知識，更是一種數(shù)學(xué)的變形方法，在今后的學(xué)習(xí)中有著重要的作用。因此，除了單純的因式分解問題外，因式分解在解某些數(shù)學(xué)問題中有著廣泛的作用，因式分解在三角形中的應(yīng)用，因式分解可以用來證明代數(shù)問題，用于代數(shù)式的求值，用于求不定方程，用于解應(yīng)用題解決有關(guān)復(fù)雜數(shù)值的計算，本節(jié)課的例題因式分解在數(shù)學(xué)題中的簡單應(yīng)用。

　　教材分析：

　　本節(jié)課是本章的最后一節(jié)，是學(xué)生學(xué)習(xí)因式分解初步應(yīng)用，首先要使學(xué)生體會到因式分解在數(shù)學(xué)中應(yīng)用，其次給學(xué)生提供更多機會體驗主動學(xué)習(xí)和探索的“過程”與“經(jīng)歷”，使多數(shù)學(xué)里擁有一定問題解決的經(jīng)驗。

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1、在整除的情況下，會應(yīng)用因式分解，進(jìn)行多項式相除。

　　2、會應(yīng)用因式分解解簡單的一元二次方程。

　　3、體驗數(shù)學(xué)問題中的矛盾轉(zhuǎn)化思想。

　　4、培養(yǎng)觀察和動手能力，自主探索與合作交流能力。

　　教學(xué)重點：

　　學(xué)會應(yīng)用因式分解進(jìn)行多項式除法和解簡單一元二次方程。

　　教學(xué)難點：

　　應(yīng)用因式分解解簡單的一元二次方程。

　　設(shè)計理念：

　　根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點，主要采用師生合作控討式課堂教學(xué)方法，以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，動手實踐訓(xùn)練為主線，創(chuàng)新思維為核心，態(tài)度情感能力為目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，動手實踐，合作交流。注重使學(xué)生經(jīng)辦觀察、操作、推理等探索過程。這種教學(xué)理念，反映了時代精神，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能有效地激發(fā)學(xué)生的思維積極性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中調(diào)動各種感官，進(jìn)行觀察與抽象、操作與思考、自主與交流等，進(jìn)而改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法。

　　教學(xué)過程：

　　一、創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)提問

　　1、將正式各式因式分解

　�。�1）（a+b）2－10（a+b）+25 （2）－xy+2x2y+x3y

　�。�3）2 a2b－8a2b （4）4x2－9

　　[四位同學(xué)到黑板上演板，本課時用復(fù)習(xí)“練習(xí)引入”也不失為一種好方法，既先復(fù)習(xí)因式分解的提取分因式和公式法，又為下面解決多項式除法運算作鋪墊]

　　教師訂正

　　提出問題：怎樣計算（2 a2b－8a2b）÷（4a－b）

　　二、導(dǎo)入新課，探索新知

　�。ㄏ茸寣W(xué)生思考上面所提出的問題，教師從旁啟發(fā)）

　　師：如果出現(xiàn)豎式計算，教師可以給予肯定；可能出現(xiàn)（2 a2b－8a2b）÷（4a－b）= ab－8a2追問學(xué)生怎么得來的，運算的依據(jù)是什么？這樣暴露學(xué)生的思維，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)錯誤之處；觀察2 a2b－8a2b=2 ab（b－4a），其中一個因式正好是除式4a－b的相反數(shù)，如果用“換元”思想，我們就可以把問題轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式。

　�。�2 a2b－8a2b）÷（4a－b）

　　=－2ab（4a－b）÷（4a－b）

　　=－2ab

　�。ㄗ寣W(xué)生自己比較哪種方法好）

　　利用上面的數(shù)學(xué)解題思路，同學(xué)們嘗試計算

　　（4x2－9）÷（3－2x）

　　學(xué)生總結(jié)解題步驟：1、因式分解；2、約去公因式）

　�。ㄈ�體學(xué)生動手動腦，然后叫學(xué)生回答，及時表揚，講練結(jié)合， [運用多項式的因式分解和換元的思想，可以把兩個多項式相除，轉(zhuǎn)化為單項式的除法]

　　練習(xí)計算

　�。�1）（a2－4）÷（a+2）

　�。�2）（x2+2xy+y2）÷（x+y）

　�。�3）[(a－b)2+2（b－a）] ÷（a－b）

　　三、合作學(xué)習(xí)

　　1、以四人為一組討論下列問題

　　若A?B=0，下面兩個結(jié)論對嗎？

　�。�1）A和B同時都為零，即A=0且B=0

　�。�2）A和B至少有一個為零即A=0或B=0

　　[合作學(xué)習(xí)，四個小組討論，教師逐步引導(dǎo)，讓學(xué)生講自己的想法，及解題步驟，培養(yǎng)語言表達(dá)能力，體會運用因式分解的.實際運用作用，增加學(xué)習(xí)興趣]

　　2、你能用上面的結(jié)論解方程

　�。�1）（2x+3）（2x－3）=0 （2）2x2+x=0

　　解：

　　∵（2x+3）（2x－3）=0

　　∴2x+3=0或2x－3=0

　　∴方程的解為x=－3/2或x=3/2

　　解：x（2x+1）=0

　　則x=0或2x+1=0

　　∴原方程的解是x1=0，x2=-1/2

　　[讓學(xué)生先獨立完成，再組織交流，最后教師針對性地講解，讓學(xué)生總結(jié)步驟：1、移項，使方程一邊變形為零；2、等式左邊因式分解；3、轉(zhuǎn)化為解一元一次方程]

　　3、練習(xí)，解下列方程

　�。�1）x2－2x=0 4x2=（x－1）2

　　四、小結(jié)

　�。�1）應(yīng)用因式分解和換元思想可以把某些多項式除法轉(zhuǎn)化為單項式除法。

　　（2）如果方程的等號一邊是零，另一邊含有未知數(shù)x的多項式可以分解成若干個x的一次式的積，那么就可以應(yīng)用因式分解把原方程轉(zhuǎn)化成幾個一元一次方程來解。

　　設(shè)計理念：

　　根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點，主要采用師生合作討論式課堂教學(xué)方法，以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，動手實踐訓(xùn)練為主線，創(chuàng)新思維為核心，態(tài)度情感能力為目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，動手實踐，合作交流。注重使學(xué)生經(jīng)辦觀察、操作、推理等探索過程。這種教學(xué)理念，反映了時代精神，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能有效地激發(fā)學(xué)生的思維積極性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中調(diào)動各種感官，進(jìn)行觀察與抽象、操作與思考、自主與交流等，進(jìn)而改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法。

因式分解教案 篇4

　　學(xué)習(xí)目標(biāo)

　　1、了解因式分解的意義以及它與正式乘法的關(guān)系。

　　2、能確定多項式各項的公因式，會用提公因式法分解因式。

　　學(xué)習(xí)重點：能用提公因式法分解因式。

　　學(xué)習(xí)難點：確定因式的公因式。

　　學(xué)習(xí)關(guān)鍵，在確定多項式各項公因式時，應(yīng)抓住各項的公因式來提公因式。

　　學(xué)習(xí)過程

　　一.知識回顧

　　1、計算

　　(1)、n(n+1)(n-1)(2)、(a+1)(a-2)

　　(3)、m(a+b)(4)、2ab(x-2y+1)

　　二、自主學(xué)習(xí)

　　1、閱讀課文P72-73的內(nèi)容，并回答問題：

　　(1)知識點一：把一個多項式化為幾個整式的__________的形式叫做____________，也叫做把這個多項式__________。

　　(2)、知識點二：由m(a+b+c)=ma+mb+mc可得

　　ma+mb+mc=m(a+b+c)

　　我們來分析一下多項式ma+mb+mc的特點;它的每一項都含有一個相同的因式m，m叫做各項的_________。如果把這個_________提到括號外面，這樣

　　ma+mb+mc就分解成兩個因式的積m(a+b+c)，即ma+mb+mc=m(a+b+c)。這種________的方法叫做________。

　　2、練一練。P73練習(xí)第1題。

　　三、合作探究

　　1、(1)m(a-b)=ma-mb(2)a(x-y+2)=ax-ay+2a，由上可知，整式乘法是一種變形，左邊是幾個整式乘積形式，右邊是一個多項式。、

　　2、(1)ma-mb=m(a-b)(2)ax-ay+2a=a(x-y+2),由此可知，因式分解也是一種變形，左邊是_____________，右邊是_____________。

　　3、下列是由左到右的變形，哪些屬于整式乘法，哪些屬于因式分解?

　　(1)(a+b)(a-b)=a-b(2)a+2ab+b=(a+b)

　　(3)-6x3+18x2-12x=-16(x2-3x+2)(4)(x-1)(x+1)=x2-1

　　4、準(zhǔn)確地確定公因式時提公因式法分解因式的關(guān)鍵，確定公因式可分兩步進(jìn)行：

　　(1)確定公因式的數(shù)字因數(shù)，當(dāng)各項系數(shù)都是整數(shù)時，他們的最大公約數(shù)就是公因式的數(shù)字因數(shù)。

　　例如：8a2b-72abc公因式的`數(shù)字因數(shù)為8。

　　(2)確定公因式的字母及其指數(shù)，公因式的字母應(yīng)是多項式各項都含有的字母，其指數(shù)取最低的。故8a2b-72abc的公因式是8ab

　　四、展示提升

　　1、填空(1)a2b-ab2=ab(________)

　　(2)-4a2b+8ab-4b分解因式為__________________

　　(3)分解因式4x2+12x3+4x=__________________

　　(4)__________________=-2a(a-2b+3c)

　　2、P73練習(xí)第2題和第3題

　　五、達(dá)標(biāo)測試。

　　1、下列各式從左到右的變形中，哪些是整式乘法?哪些是因式分解?哪些兩者都不是?

　　(1)ax+bx+cx+m=x(a+b+c)+m(2)mx-2m=m(x-2)

　　(3)2a(b+c)=2ab+2ac(4)(x-3)(x+3)=(x+3)(x-3)

　　(5)x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1(6)(x-2)(x+2)=x2-4

　　2.課本P77習(xí)題8.5第1題

　　學(xué)習(xí)反思

　　一、知識點

　　二、易錯題

　　三、你的困惑

因式分解教案 篇5

　　學(xué)習(xí)目標(biāo)

　　1、 學(xué)會用公式法因式法分解

　　2、綜合運用提取公式法、公式法分解因式

　　學(xué)習(xí)重難點 重點：

　　完全平方公式分解因式.

　　難點：綜合運用兩種公式法因式分解

　　自學(xué)過程設(shè)計

　　完全平方公式：

　　完全平方公式的逆運用：

　　做一做：

　　1.(1)16x2-8x+_______=(4x-1)2;

　　(2)_______+6x+9=(x+3)2;

　　(3)16x2+_______+9y2=(4x+3y)2;

　　(4)(a-b)2-2(a-b)+1=(______-1)2.

　　2.在代數(shù)式(1)a2+ab+b2;(2)4a2+4a+1;(3)a2-b2+2ab;(4)-4a2+12ab-9b2中，可用完全平方公式因式分解的是_________(填序號)

　　3.下列因式分解正確的`是( )

　　A.x2+y2=(x+y)2 B.x2-xy+x2=(x-y)2

　　C.1+4x-4x2=(1-2x)2 D.4-4x+x2=(x-2)2

　　4.分解因式：(1)x2-22x+121 (2)-y2-14y-49 (3)(a+b)2+2(a+b)+1

　　5.計算：20062-40102006+20052=___________________.

　　6.若x+y=1，則 x2+xy+ y2的值是_________________.

　　想一想

　　你還有哪些地方不是很懂?請寫出來。

　　____________________________________________________________________________________ 預(yù)習(xí)展示一：

　　1.判別下列各式是不是完全平方式.

　　2、把下列各式因式分解：

　　(1)-x2+4xy-4y2

　　(2)3ax2+6axy+3ay2

　　(3)(2x+y)2-6(2x+y)+9

　　應(yīng)用探究：

　　1、用簡便方法計算

　　49.92+9.98 +0.12

　　拓展提高：

　　(1)( a2+b2)( a2+b2 10)+25=0 求a2+b2

　　(2)4x2+y2-4xy-12x+6y+9=0

　　求x、y關(guān)系

　　(3)分解因式：m4+4

　　教后反思 考察利用公式法因式分解的題目不會很難，但是需要學(xué)生記住公式的形式，之后利用公式把式子進(jìn)行變形，從而達(dá)到進(jìn)行因式分解的目的，但是這里有用到實際中去的例子，對學(xué)生來說會難一些。

因式分解教案 篇6

　　學(xué)習(xí)目標(biāo)：經(jīng)歷探索同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)的過程，能用代數(shù)式和文字正確地表述，并會熟練地進(jìn)行計算。通過由特殊到一般的`猜想與說理、驗證，發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力.

　　學(xué)習(xí)重點：同底數(shù)冪乘法運算性質(zhì)的推導(dǎo)和應(yīng)用.

　　學(xué)習(xí)過程：

　　一、創(chuàng)設(shè)情境引入新課

　　復(fù)習(xí)乘方an的意義：an表示個相乘，即an=.

　　乘方的結(jié)果叫a叫做，n是

　　問題：一種電子計算機每秒可進(jìn)行1012次運算，它工作103秒可進(jìn)行多少次運算?

　　列式為，你能利用乘方的意義進(jìn)行計算嗎?

　　二、探究新知：

　　探一探：

　　1根據(jù)乘方的意義填空

　　(1)23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2();

　　(2)55×54=_________=5();

　　(3)(-3)3×(-3)2=_________________=(-3)();

　　(4)a6a7=________________=a().

　　(5)5m5n

　　猜一猜：aman=(m、n都是正整數(shù))你能證明你的猜想嗎?

　　說一說：你能用語言敘述同底數(shù)冪的乘法法則嗎?

　　同理可得：amanap=(m、n、p都是正整數(shù))

　　三、范例學(xué)習(xí)：

　　【例1】計算：(1)103×104;(2)aa3;(3)mm3m5;(4)xmx3m+1(5)xx2+x2x

　　1.填空：⑴10×109=;⑵b2×b5=;⑶x4x=;⑷x3x3=.

　　2.計算：

　　(1)a2a6;(2)(-x)(-x)3;(3)8m(-8)38n;(4)b3(-b2)(-b)4.

　　【例2】：把下列各式化成(x+y)n或(x-y)n的形式.

　　(1)(x+y)4(x+y)3(2)(x-y)3(x-y)(y-x)

　　(3)-8(x-y)2(x-y)(4)(x+y)2m(x+y)m+1

　　四、學(xué)以致用：

　　1.計算：⑴10n10m+1=⑵x7x5=⑶mm7m9=

　　⑷-4444=⑸22n22n+1=⑹y5y2y4y=

　　2.判斷題：判斷下列計算是否正確?并說明理由

　�、臿2a3=a6();⑵a2a3=a5();⑶a2+a3=a5();

　　⑷aa7=a0+7=a7();⑸a5a5=2a10();⑹25×32=67()。

　　3.計算：

　　(1)xx2+x2x(2)x2xn+1+xn-2x4-xn-1x4

　　(3)-(-a)3(-a)2a5;(4)(a-b)3(b-a)2

　　(5)(x+y)(x+y)(x+y)2+(x+y)2(x+y)2

　　4.解答題：

　　(1)已知xm+nxm-n=x9，求m的值.

　　(2)據(jù)不完全統(tǒng)計，每個人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中約含有3.34×1019個水分子，那么，每個人每年要用去多少個水分子?

因式分解教案 篇7

　　整式乘除與因式分解

　　一.回顧知識點

　　1、主要知識回顧：

　　冪的運算性質(zhì)：

　　aman=am+n(m、n為正整數(shù))

　　同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

　　=amn(m、n為正整數(shù))

　　冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

　　(n為正整數(shù))

　　積的乘方等于各因式乘方的積.

　　=am-n(a≠0，m、n都是正整數(shù)，且m>n)

　　同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

　　零指數(shù)冪的概念：

　　a0=1(a≠0)

　　任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于l.

　　負(fù)指數(shù)冪的概念：

　　a-p=(a≠0，p是正整數(shù))

　　任何一個不等于零的數(shù)的-p(p是正整數(shù))指數(shù)冪，等于這個數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù).

　　也可表示為：(m≠0，n≠0，p為正整數(shù))

　　單項式的乘法法則：

　　單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式;對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.

　　單項式與多項式的乘法法則：

　　單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.

　　多項式與多項式的乘法法則：

　　多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加.

　　單項式的除法法則：

　　單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.

　　多項式除以單項式的法則：

　　多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.

　　2、乘法公式：

　�、倨椒讲罟�式：(a+b)(a-b)=a2-b2

　　文字語言敘述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差.

　　②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

　　(a-b)2=a2-2ab+b2

　　文字語言敘述：兩個數(shù)的和(或差)的平方等于這兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍.

　　3、因式分解：

　　因式分解的定義.

　　把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解.

　　掌握其定義應(yīng)注意以下幾點：

　　(1)分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可;

　　(2)因式分解必須是恒等變形;

　　(3)因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.

　　弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系.

　　因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的`形式.

　　二、熟練掌握因式分解的常用方法.

　　1、提公因式法

　　(1)掌握提公因式法的概念;

　　(2)提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：①系數(shù)一各項系數(shù)的最大公約數(shù);②字母——各項含有的相同字母;③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù);

　　(3)提公因式法的步驟：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可用來檢驗是否漏項.

　　(4)注意點：①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式，即分解到“底”;②如果多項式的第一項的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的.

　　2、公式法

　　運用公式法分解因式的實質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用;

　　常用的公式：

　�、倨椒讲罟�式：a2-b2=(a+b)(a-b)

　　②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

　　a2-2ab+b2=(a-b)2

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